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如何解决“等式成立”题目?

等式成立题目是中学阶段比较常见的一类数学题目,其主要考察学生整合知识、灵活运用公式和化简等能力。在解决等式成立题目时,我们需要注意以下几点攻略技巧和特点:

1. 找到题目的“特殊点”

我们需要先明确等式中的某些变量必须满足什么条件才能使等式成立,这些变量就是“特殊点”。例如,对于等式 $x^3+2x^2+3x+4=(x+1)^3$, 特殊点为$x=-1$。

2. 利用等式的对称性质

等式常常具有对称性质,即式子两边可以通过某种变形变成一模一样的形式。例如,对于等式 $a^2+ab+b^2=\frac{(a+b)^2}{3}$,可以通过交换 $a$ 和 $b$ ,再做一次加法去分式得到 $b^2+ba+a^2=\frac{(a+b)^2}{3}$。

3. 巧妙运用因式分解

因式分解是解决等式成立题目的一个常用方法。我们需要根据题目中的条件,巧妙地对公式进行因式分解。例如,对于等式 $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$,可以通过因式分解化简得到 $(a-\frac{b}{2})^2+(b-\frac{c}{2})^2+(c-\frac{a}{2})^2\geq 0$。

4. 巧妙地利用恒等式

恒等式是数学中一类特殊的等式,所有变量取任何值都成立。在解决等式成立题目时,我们可以巧妙地将等式转化为一些已知的恒等式,再对其进行类比或者变形。例如,对于等式 $\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}=\frac{\cos A+\cos B+\cos C}{\cos A\cos B\cos C}$,我们可以利用三角恒等式$\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}$,并化简得到$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}=\frac{R}{r}$。

反正呢,解决等式成立题目需要我们熟练掌握基本数学知识和推导方法,灵活运用公式和化简技巧。此外,我们还需要注意题目所给条件,找到特殊点,利用对称性质、因式分解和恒等式等方法来解题。